Tässä artikkelissa tutkitaan, mikä on ortonormaali perusta matriisista ja kuinka löytää ne MATLABissa käyttämällä orth() toiminto.
Mitkä ovat matriisin ortonormaalit perusteet
Lineaarisessa algebrassa ortonormaali perusta vektoriavaruuden V, jolla on äärellinen ulottuvuus, ovat kanta, jolla on ortonormaalit vektorit missä ortonormaalit vektorit ovat yksikkövektorit, jotka ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden, eli niiden pistetulo on nolla.
Tarkastellaan kahden yksikön vektoreita x ja y, ne ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden, jos 'x.y=0' . Näitä kahta vektoria kutsutaan myös ortonormaalit vektorit .
Miksi meidän on laskettava ortonormaali peruste?
Ortonormaali perusta on hyödyllinen, kun halutaan löytää vektorin projektio toiseen vektoriin tai löytää etäisyys näiden kahden vektorin välillä. Voimme myös käyttää an ortonormaali perusta pienentääksemme pyöristysvirhettä simulaatioissamme ja ainoa syy tähän on se, että ortonormaalilla pohjalla olevat vektorit ovat toisistaan riippumattomia, jolloin yhden vektorin virhe ei voi levitä muihin vektoreihin. Lisäksi koordinaattien löytäminen ja lineaarisen muunnoksen suorittaminen on paljon helpompaa, jos perustamme on ortonormaali.
Kuinka löytää matriisin ortonormaali perusta MATLABissa?
MATLABissa voimme löytää ortonormaali perusta käyttämällä sisäänrakennettua orth() toiminto, joka on vastuussa määrittämisestä ortonormaali perusta tietystä matriisista. Tämä funktio hyväksyy matriisin pakolliseksi parametriksi ja tarjoaa matriisin lähtönä, joka sisältää ortonormaali perusta annetusta syöttömatriisista.
Syntaksi
The orth() toiminto voidaan toteuttaa MATLABissa seuraavien syntaksien avulla:
Q = orth ( A,tol )
Tässä,
- Toiminto Q = orth(A) on vastuussa määrittämisestä ortonormaali perusta A-alueelle, jossa lähtömatriisin Q sarakkeet edustavat ortonormaali perusta matriisin A ja he lähettävät roskapostia matriisin A alueelle. Myös A:n arvo vastaa Q:n sarakkeiden määrää.
- Toiminto Q = orth(A,tol) on vastuussa määrittämisestä ortonormaali perusta toleranssin määrittävälle A-alueelle. Syötematriisin A singulaariarvoja, jotka ovat pienempiä kuin toleranssi, käsitellään nollana vaikuttamalla Q:n sarakkeiden määrään.
Esimerkki 1: Kuinka löytää ortonormaali perusta täyden luokan matriisille MATLABissa?
Tämä MATLAB-koodi määrittää ortonormaali perusta annetusta neliömatriisista A, jonka koko on n=3, käyttäen orth() toiminto. Tämä koodi löytää myös matriisin A arvon käyttämällä rank() toiminto varmistaaksesi, että syöttömatriisi on täysi arvo.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = sijoitus ( A )
Q = orth ( A )
Esimerkki 2: Kuinka laskea ortonormaali perusta ranking-vajautuneelle matriisille MATLABissa?
Tässä esimerkissä käytämme orth() toiminto löytääksesi ortonormaali perusta annetusta rank-puutteisesta matriisista A. Matriisi A on ranking-vajaus, koska sijoitus(K)
r = sijoitus ( A )
Q = orth ( A )
Esimerkki 3: Kuinka löytää ortonormaali perusta täyden luokan matriisille määrittämällä toleranssi MATLABissa?
Annettu esimerkki laskee ortonormaali perusta annetusta täyden järjestyksen neliömatriisista A, jonka koko on n = 3 käyttämällä orth() toiminto oletustoleranssilla. Koska A on täyden asteen matriisi, A:n ja Q:n koko (ortogonaalinen perusta) on sama, joka on tässä tapauksessa 3×3. Esimerkki laskee sitten ortonormaali perusta A:sta määrittämällä toleranssin arvo 0,5, jotta A:n arvot, jotka ovat pienempiä kuin 0,5, pidetään yksikköarvoina. A:ssa on kolme singulaariarvoa, joten A:lla on kaksi ortonormaalia sarakevektoria, jotka sisältyvät Qtol matriisi.
A = rand ( 3 ) ;r = sijoitus ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0.5 )
Johtopäätös
Löytäminen ortonormaali perusta vektoriavaruus on tärkeä lineaarialgebran käsite, joka on monimutkainen matemaattinen ongelma. Se voidaan kuitenkin ratkaista helposti ja tehokkaasti käyttämällä MATLABin sisäänrakennettua orth() toiminto. Tässä artikkelissa on esitetty tämän toiminnon toteutus käyttämällä erilaisia syntakseja ja esimerkkejä.